Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M為棱CC₁上一點．
（1）若，求異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）是否存在這樣的點M使得BM⊥平面A₁B₁M？若存在，求出C₁M的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點M作MN∥C₁D，交D₁D于N，連接A₁N，
則∠A₁MN或其補角就是異面直線A₁M和C₁D₁所成角
在Rt△A₁NM中，AB=1，A₁N==
∴tan∠A₁MN==
由此可得，當時，異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值為；
（2）∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，BM⊆平面BB₁C₁C，
∴A₁B₁⊥BM，
因此可得：只要B₁M⊥BM，就有BM⊥平面A₁B₁M．
假設存在M點，使得BM⊥平面A₁B₁M，設C₁M=x
則矩形BB₁C₁C中，B₁M⊥BM，所以∠MB₁C₁=∠MBB₁
∴Rt△B₁MB∽Rt△MB₁C₁，所以=
∴B₁M²=B₁B•C₁M，可得4+x²=5x，解之得x=1或4
∴當C₁M的長為1或4時，存在點M使得BM⊥平面A₁B₁M．
分析：（1）過點M作MN∥C₁D，交D₁D于N，連接A₁N，可得∠A₁MN或其補角就是異面直線A₁M和C₁D₁所成角．再在Rt△A₁NM中利用勾股定理和正切函數的定義，即可得到異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）先假設存在M點，使得BM⊥平面A₁B₁M，并設C₁M=x．根據平面幾何知識Rt△B₁MB∽Rt△MB₁C₁，得到B₁M^是B₁B和C₁M的比例中項，通過計算可得x=1或4，由此可知存在點M使得BM⊥平面A₁B₁M．
點評：本題給出特殊的四棱柱，求異面直線所成角并探索線面垂直的存在性，著重考查了異面直線所成角的求法和線面垂直的判定與性質等知識，屬于中檔題．