Question

【題目】超級細菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒，痙攣，昏迷甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（）份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份血液再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.

（1）運用概率統計的知識，若，試求P關于k的函數關系式；

（2）若P與抗生素計量相關，其中，，…，（）是不同的正實數，滿足，對任意的（），都有.

（i）證明：為等比數列；

（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求k的最大值.

參考數據：，，，，，

，，，

Answer 1

【答案】（1）（且）；（2）（i）證明見解析；（ii）8.

【解析】

（1）根據檢驗方式可知，的取值只為，易求得，而的可能取值為，再分別求出對應概率即可得到，列出等式即可解出；

（2）（i）先根據關系式賦值，，歸納猜出，再根據數學歸納法證明即可；

（ii）依題可知，，解不等式， ，構造函數（），由其單調性即可求出的最大值．

（1）當進行逐份檢驗時，；

當進行混合檢驗時，，

則

∵，∴

則，即（且）.

（2）（i）當時，有

則猜想：

下面用數學歸納法進行證明：

①當時，滿足

②假設當時，

則當時，

設（且），則

∴

∴

∴

整理可得：

∴或（舍去）

由①②可得：對一切都成立.

即為等比數列.

（ii）依題可知：

由（1）可知：

∴

令（），則

所以在上單調遞增，在上單調遞減

∵，

則k的最大值為8.