Question

拋物線y²=2px的焦點與雙曲線

x2

3

-y2=1的右焦點重合．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）求拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由雙曲線方程求出其半焦距，根據(jù)拋物線的焦點與雙曲線右焦點重合求出P，從而求出拋物線方程；
（Ⅱ）分別求出拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立求出兩交點間的距離，然后直接代入三角形的面積公式求解．

解答：解：（Ⅰ）由雙曲線

x2

3

-y2=1得，a²=3，b²=1，
所以c²=a²+b²=3+1=4，所以c=2．
則

p

2

=2，p=4．
所以拋物線的方程為y²=8x；
（Ⅱ）由題意知，a=

3

，b=1，
所以雙曲線的漸進線方程為y=±

3

3

x，
拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2．
代入雙曲線的準(zhǔn)線方程得y=±

2 3

3

．
設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的準(zhǔn)線的交點為A，B．
則|AB|=

4 3

3

．
所以拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線圍成的三角形的面積為：
S=

1

2

×

4 3

3

×2=

4 3

3

．

點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，兩圓錐曲線的關(guān)系問題是高考常見題型，解答的關(guān)鍵是合理運用所涉及的量，
此類問題往往具有較復(fù)雜的運算量，考查學(xué)生的計算能力，此題是中檔題．