Question

（文）對于函數f（x）=lg（x²+ax-a-1），給出下列命題：
①當a=0時，f（x）的值域為R；        ②當a＞0時，f（x）在[2，+∞）上有反函數；
③當0＜a＜1時，f（x）有最小值；     ④若f（x）在[2，+∞）上是增函數，則實數a的取值范圍是[-4，+∞）．
上述命題中正確的是

①②

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：由題意，①中判斷函數值域能否為R，要驗證真數能否取全體正數；
②中研究此對數函數是否有反函數，由反函數定義知，驗證a＞0時，f（x）在[2，+∞）上函數是否是單調函數即可；
③中研究在0＜a＜1時，f（x）有最小值的問題，可通過驗證真數的最小值是否為正數判斷，若在R上，內層函數的最小值為正數，則說明函數有最小值，否則沒有；
④中研究f（x）在[2，+∞）上是增函數，實數a的取值范圍，可將函數在[2，+∞）上是增函數的等價條件給出，解出此時a的取值范圍，與命題對照；

解答：解：函數f（x）=lg（x²+ax-a-1），
①當a=0時，f（x）=lg（x²-1），由于真數x²-1可以取全體正數，故函數的值域是R，此命題正確；
②當a＞0時，內層函數的對稱軸是x=-

a

2

＜0，又當x=2時2²+a×2-a-1=a+3＞0，由復合函數的單調性知，此時函數f（x）在[2，+∞）上是單調增函數，故有反函數，此命題正確；
③當0＜a＜1時，內層函數的最小值為

-(a+2 2)

4

＜0，故函數的值域為R，所以函數f（x）沒有最小值，③命題錯誤；
④若f（x）在[2，+∞）上是增函數，則有

4+2a-a-1＞0 - a 2 ≤2

，解得a＞-3則實數a的取值范圍是（-3，+∞）．故④命題錯誤．
綜上，①②兩個命題是正確的
故答案為①②

點評：本題是一個對數函數圖象與性質綜合應用題，考查了對數函數的單調性，最值等問題，解題的關鍵是對命題中所給的結論作出分析選擇合適的判斷方法，四個命題中涉及到對數函數值域為R真數取值范圍，有反函數的函數的性質，函數是否存在最值及函數是增函數時參數的取值范圍，本題是一個能力型題，考查了推理判斷的能力