Question

已知D為△ABC的邊BC上一點，且AB：BC：CA=1：

3

：1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面積為

3

，且∠ADC=45°，求BD的長．

Answer 1

分析：設三邊之比為k，表示出三邊長，
（1）利用余弦定理表示出cosA，將三邊長代入求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）利用三角形的面積公式列出關系式，將已知面積與sinA的值代入求出AB的值，在三角形ABD中，利用正弦定理即可求出BD的長．

解答：解：設AB：BC：CA=1：

3

：1=k，則AB=AC=k，BC=

3

k，
（1）由余弦定理得：cosA=

AB2+CA2-BC2

2AB•CA

=

k2+k2-( 3 k)2

2k2

=-

1

2

，
∵A為三角形的內角，∴A=120°；
（2）∵AB=CA，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAD=15°，
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin120°=

3

，
∴AB=AC=2，
∵sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=

6 - 2

4

，
則由正弦定理

AB

sin(180°-45°)

=

BD

sin15°

得：BD=

2sin15

sin135°

=

3

-1．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．