Question

【題目】如圖所示，已知三棱錐中，底面是等邊三角形，且，分別是的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

試題分析：（1）連接，因為是的中點，由等腰三角形及等邊三角形的性質可得，從而利用線面垂直的判定定理可得結果；（2）先根據勾股定理證明與垂直，再以為軸建立空間直角坐標系，平面的一個法向量為，利用向量垂直數量積為零，列方程組求出平面的一個法向量，根據空間向量夾角余弦公式可求得二面角的余弦值.

試題解析：(1)連接，因為，底面等邊三角形，

又因為是的中點，

所以

又因為，

所以平面.

（2）因為，

由（1）可知，

而，所以

以為原點，以的方向為軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，

由題得平面的一個法向量為.

設平面的一個法向量為

所以，即

令得

所以，

所以

由題意知二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.