Question

已知函數(shù)f(x)=ax+

1

x2

(x≠0，常數(shù)a∈R)
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[3，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先判斷函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用奇偶函數(shù)的定義，注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；
（2）函數(shù)f（x）在x∈[3，+∞）上為增函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0在x∈[3，+∞）上恒成立，從而可解．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(-x)=-ax+

1

x2

①當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)為偶函數(shù)；
②當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)非奇非偶．
（2）f/(x)=a-

2

x3

∵函數(shù)f（x）在x∈[3，+∞）上為增函數(shù)
∴f/(x)=a-

2

x3

≥0 在x∈[3，+∞）上恒成立
∴a-

2

27

≥0
∴a≥

2

27

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查恒成立問題，關(guān)鍵是掌握定義，利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題．