Question

（本小題14分） 已知函數，若
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數在區間上有兩個零點，求實數b的取值范圍；
（3）當

Answer 1

（1）；（2）（1，] ；（3）證明詳見解析.

試題分析：（1）先求導數，再求切線的斜率，由點斜式可得切線方程；（2）先求 ，然后確定函數
g(x)的單調區間，找到滿足函數在區間上有兩個零點d的條件，解之即可；（3）欲證原不等式可轉化為證，在構造函數，由函數h(x)的單調性可證的<0，即可得證.
試題解析：(1)因為，
所以曲線在點處的切線方程為
（2）=，(x>0)
=，由>0得x>1, 由<0得0<x<1.
所以的單調遞增區間是（1，+）,單調遞減區間（0, 1）
x=1時，取得極小值.
因為函數在區間 上有兩個零點，所以 ，解得，
所以b的取值范圍是（1，
（3）當
即證：
即證：
構造函數：
當時，
所以，
又，所以
即
所以