Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．

（1）若恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

（1）分，利用導數(shù)求函數(shù)零點個數(shù)，

（2）由（1）可知時，存在，易得．

令，．．利用導數(shù)可證明．

（1）當時，函數(shù)，只有一個零點．

當時，．

①當時，令，得，令，得，

∴在遞增，在遞減．

又，，

取，且，則．

故恰有兩個零點．

②當時，當時，，故需時，有兩個零點．

令，得，或，

若，則，故當時，，在遞增，不存在兩個零點．

若，則，故當時，，在遞減，，

時，，單調(diào)遞增，故不存在兩個零點．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．

（2）由（1）可知時，存在，且，，，

又在遞增，

∴．

令，．

．

∴在遞增．即，

．

∵，，又在遞增，

∴，即．