Question

已知函數f（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1）
（1）求函數f（x）的最小值；
（2）設f（x）的最小值為g（a），若g（a）＜m恒成立，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）令cosx=t，t∈[-1，1]，則y=2t²-2at-（2a+1），再進行分類討論；
（2）求出g（a）的值域，由g（a）＜m恒成立，可得g（a）_max＜m，從而可求m的范圍．

解答：解：（1）令cosx=t，t∈[-1，1]，則y=2t²-2at-（2a+1），對稱軸t=

a

2

當

a

2

＜-1，即a＜-2時，[-1，1]是函數y的遞增區間，y_min=1
當

a

2

＞1，即a＞2時，[-1，1]是函數y的遞減區間，y_min=-4a+1
當-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2時，y_min=-

a2

2

-2a-1；
∴f（x）_min=

1，a＜-2 - a2 2 -2a-1，-2≤a≤2 -4a+1，a＞2

；
（2）當a＜-2時，g（a）=1；
當-2≤a≤2時，g（a）=-

a2

2

-2a-1=-

1

2

（a+2）²+1，∴-7≤g（a）≤1
當a＞2時，g（a）=-4a+1，∴g（a）≤-7
綜上，g（a）≤1
∵g（a）＜m恒成立，
∴m＞1

點評：本題主要考查二次函數的最值，考查恒成立問題，應注意把握區間與對稱軸之間的關系，做好分類討論．