Question

（本小題滿分12分）
如圖，菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐,點是棱的中點，.
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（III）求三棱錐的體積.

Answer 1

證明：（Ⅰ）因為點是菱形的對角線的交點，所以是的中點.又點是棱的中點，所以是的中位線，.   ………………………… 2分
因為平面,平面，所以平面. …………………4分
（Ⅱ）由題意，,
因為,所以，.   …………………………….6分
又因為菱形，所以.
因為,所以平面，
因為平面，所以平面平面.
……………………………………………………………….9分
（Ⅲ）三棱錐的體積等于三棱錐的體積.
由（Ⅱ）知，平面，所以為三棱錐的高，且.
的面積為.
所求體積等于. ………………………………………………12分

解析