Question

F是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，過F且與一條漸近線平行的直線l與雙曲線交于點(diǎn)M，與另外一條漸近線交于點(diǎn)N，若

FM

=

1

2

MN

，則雙曲線離心率為

6

2

．

Answer 1

分析：設(shè)F（c，0），雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的漸近線l₁：y=

b

a

x，l2：y=-

b

a

x，過F（c，0）且平行于l₁的直線l：y=

b

a

(x-c)，分別求出M點(diǎn)橫坐標(biāo)和N點(diǎn)橫坐標(biāo)，由

FM

=

1

2

MN

，能求出雙曲線離心率．

解答：解：設(shè)F（c，0），雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的漸近線l₁：y=

b

a

x，l2：y=-

b

a

x，
過F（c，0）且平行于l₁的直線l：y=

b

a

(x-c)，
聯(lián)立

y= b a (x-c) x2 a2 - y2 b2 =1

，得M點(diǎn)橫坐標(biāo)xm=

a2+c2

2c

，
聯(lián)立

y= b a (x-c) y=- b a x

，得N點(diǎn)橫坐標(biāo)x_n=

c

2

，
∵

FM

=

1

2

MN

，
∴

a2+c2 2c - c 2

c- c 2

=

2

3

，整理，得

c2

a2

=

3

2

，
∴e=

3 2

=

6

2

．
故答案為：

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，細(xì)心計(jì)算，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．