Question

已知點(diǎn)F是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用雙曲線的對(duì)稱性及銳角三角形∠AEF＜45°得到AF＜EF，求出A的坐標(biāo)；求出AF，EF得到關(guān)于a，b，c的不等式，求出離心率的范圍．

解答：解：∵△ABE是銳角三角形
∴∠AEB為銳角
∵雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，且直線AB垂直x軸
∴∠AEF=∠BEF＜45°
∴AF＜EF
∵F為左焦點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（-c，0）
所以A（-c，

b2

a

）
所以AF=

b2

a

，EF=a+c
∴

b2

a

＜a+c即c²-ac-2a²＜0
解得-1＜

c

a

＜2
雙曲線的離心率的范圍是（1，2）
故答案為（1，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的對(duì)稱性、考查雙曲線的三參數(shù)關(guān)系：c²=a²+b²、考查雙曲線的離心率問題就是研究三參數(shù)a，b，c的關(guān)系．