Question

地區的一種特色水果上市時間僅能持續5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續上漲態勢，而中期又將出現供大于求使價格連續下跌，現有三種價格模擬函數．①f（x）=p•q^x；②f（x）=px²+qx+1；③f（x）=x（x-q）²+p．
（以上三式中p、q均為常數，且q＞1，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，依此類推）．
（1）為準確研究其價格走勢，應選

 

種價格模擬函數．
（2）若f（0）=4，f（2）=6，預測該果品在

 

月份內價格下跌．（5月、6月）

Answer 1

分析：（1）欲找出能較準確反映數學成績與考試序次關系的模擬函數，主要依據是呈現前幾次與后幾次均連續上升，中間幾次連續下降的趨勢，故可從三個函數的單調上考慮，前面兩個函數沒有出現兩個遞增區間和一個遞減區間，應選f（x）=x（x-q）²+p為其成績模擬函數．
（2）由題中條件：f（0）=4，f（2）=6，得方程組，求出p，q即可，從而得到f（x）的解析式即可預測該果品在哪幾個月份內價格下跌．

解答：解：（1）因為f（x）=pq^x是單調函數，f（x）=px²+qx+1，只有兩個單調區間，不符合題設中的價格變化規律
在f（x）=（x-1）（x-q）²+p中，
f′（x）=3x²-4qx+q²，
令f′（x）=0，得x=q，x=

q

3

，即f（x）有兩個零點，可以出現兩個遞增區間和一個遞減區間，符合題設中的價格變化規律
所以應選f（x）=x（x-q）²+p為其成績模擬函數．
（2）①由f（0）=4，f（2）=6，得

p=4 2(2-q)2 又q＞1

+p=6得

p=4 q=3

f（x）=x³-6x²+9x+4（1≤x≤12，且x∈Z）．
由f′（x）=3x²-12x+9≤0得：1≤x≤3，
由題意可預測該果品在5、6月份內價格下跌．
故答案為：（1）③；（2）5月、6月．

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．