Question

（2012•江蘇一模）已知函數f（x）=x+sinx．
（1）設P，Q是函數f（x）的圖象上相異的兩點，證明：直線PQ的斜率大于0；
（2）求實數a的取值范圍，使不等式f（x）≥axcosx在[0，

π

2

]上恒成立．

Answer 1

分析：（1）先利用導數研究函數的單調性，然后設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據斜率的定義建立關系式，從而可知可證結論；
（2）設Q(x)=g(x)-f(x)=axcosx-x-sinx，x∈[0，

π

2

]，然后利用導數研究函數的最小值，使得Q（x）_min≥0即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x+sinx
∴f'（x）=1+cosx≥0
∴函數f（x）在R上單調遞增
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則

y2-y1

x2-x1

＞0，即k_PQ＞0
∴直線PQ的斜率大于0；
（2）依題意得，設Q(x)=g(x)-f(x)=axcosx-x-sinx，x∈[0，

π

2

]，
1°當a≤0時，Q（x）≤0恒成立； …（8分）
2°當a＞0時，Q'（x）=（a-1）cosx-axsinx-1，…（10分）
①0＜a≤2時，Q'（x）≤0，Q（x）在[0，

π

2

]上單調遞減，
所以Q（x）≤Q（0）=0恒成立；…（12分）
②a＞2時，注意到當x∈[0，  

π

2

]時，x≥sinx，
于是Q（x）=axcosx-x-sinx≥axcosx-2x=x（acosx-2），
必存在x0∈(0，

π

2

)，使得當x∈（0，x₀）時，有Q（x₀）＞0，不能使Q（x）≤0恒成立．
綜上所述，實數a的取值范圍為a≤2． …（16分）

點評：本題主要考查函數的概念、性質及導數等基礎知識，考查靈活運用數學結合、分類討論的思想進行探究、分析與解決問題的能力．