Question

設橢圓的一個焦點為F，點P在y軸上，直線PF交橢圓于M、N，，則實數λ₁+λ₂=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：設直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x-c）．將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（b²+a²k²）x²-2a²ck²x+a²c²k²-a²b²=0．然后利用向量關系及根與系數的關系，可求得λ₁+λ₂的值．
解答：設M，N，P點的坐標分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，y₀），
又不妨設F點的坐標為（c，0）．
顯然直線l存在斜率，設直線l的斜率為k，
則直線l的方程是y=k（x-c）．
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（b²+a²k²）x²-2a²ck²x+a²c²k²-a²b²=0．
∴，．
又∵，
將各點坐標代入得 ，
=．
故選C．
點評：本題以向量為載體，考查直線與橢圓的位置關系，是橢圓性質的綜合應用題，解題時要注意公式的合理選取和靈活運用．