Question

（本小題滿分12分）

設函數，．

（Ⅰ）若，求的極小值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，是否存在實常數和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，說明理由．

（Ⅲ）設有兩個零點，且成等差數列，試探究值的符號．

請考生在22，23，24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的標號涂黑．

Answer 1

解：(Ⅰ)由

           

利用導數的方法求得的極小值為…………………2分

 (Ⅱ)因為與有一個公共點（1，1），而函數在點（1，1）的

切線方程為，下面驗證：都成立即可。

由于，知恒成立；

設

得

在（0，1）上，，單調遞增；

在上，，單調遞減；

又因為在處連續，所以

所以

故存在這樣的k和m，且k=2,m= -1。   ………………………………6分

（Ⅲ）的符號為正，理由為：因為

有兩個零點，則有，兩式相減，得

    

即 

于是

   

當時，令，則，

設，則

所以在上為單調增函數，而，所以>0,

又因a>0, ,所以

同理，當時，同理可得

綜上所述的符號為正。      ……………………………………12分