Question

福布斯2009年中國富豪榜發布后，有人認為中國富豪受益于活躍的股票市場，得益于強勁的資本市場．股票有風險應考慮中長期投資，若某股票上市時間能持續15年，預測上市初期和后期會因供求及市場前景分析使價格呈連續上漲態勢，而中期有將出現供大于求使價格連續下跌．現有三種價格隨發行年數x的模擬函數：（A）f（x）=p-q^x；（B）f（x）=log_qx+p；（C）f（x）=（x-1）（x-q）²+p（以上三式中p，q均為常數，且q＞2）．
（1）為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數？為什么？
（2）若f（1）=4，f（3）=6 ①求出所選函數f（x）的解析式；②一般散戶為保證個人的收益，通常考慮打算在價格下跌期間出股票，請問他們會在哪幾個年份出售？

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（1）判斷A，B是單調函數；C有兩個零點，可以出現兩個遞增區間和一個遞減區間，即可得出結論；
（2）求出p=4，q=4，可得函數解析式，求導數，即可得出結論．

解答： 解：（1）因為f（x）=p-q^x是單調函數；f（x）=log_qx+p也是單調函數；
在f（x）=（x-1）（x-q）²+p中，f′（x）=3x²-（4q+2）x+q²+2q
令f′（x）=0，可得x=q或x=

q+2

3

，
所以函數f（x）有兩個零點，可以出現兩個遞增區間和一個遞減區間，
所以因選f（x）=（x-1）（x-q）²+p為其價格模擬函數．…（6分）
（2）由f（1）=4，f（3）=6，可得p=4，q=4（其中q=2舍去），
所以f（x）=x³-9x²+24x-12（1≤x≤15，x∈N₊），
所以f′（x）=3x²-18x+24＜0，
所以f（x）在區間（2，4）上單調遞減．
故他們會在發行的第2，3年出售．…（13分）

點評：本題考查根據實際問題選擇函數類型，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．