Question

甲、乙兩人參加一項智力競賽．在同一輪競賽中，兩人測試同一套試卷，成績由次到優，依次分為“合格”，“良好”，“優秀”三個等級．根據以往成績可知，甲取得“合格”，“良好”，“優秀”的概率分別為0.6，0.3，0.1；乙取得“合格”，“良好”，“優秀”的概率分別為0.4，0.4，0.2．設甲、乙兩人參加競賽的過程相互獨立，且每個人的前后各輪次競賽成績互不影響．
（Ⅰ）求在一輪競賽中甲取得的成績等級優于乙取得的成績等級的概率；
（Ⅱ）求在獨立的三輪競賽中，至少有兩輪甲取得的成績等級優于乙取得的成績等級的概率．

Answer 1

【答案】分析：記A₁，A₂分別表示甲取得良好、優秀，B₁，B₂分別表示乙取得合格、良好，A表示在一輪競賽中，甲取得的成績優于乙取得的成績B表示在三輪競賽中至少有兩輪甲取得的成績優于乙取得的成績，C₁，C₂分別表示三輪中恰有兩輪，三輪甲取得的成績優于乙取得的成績．
（Ⅰ）即為事件A=A₁•B₁+A₂•B₁+A₂•B₂，發生，由相互獨立事件的概率公式可求
（Ⅱ）即為事件B=C₁+C₂發生，利用相互獨立事件的概率公式可求
解答：解：記A₁，A₂分別表示甲取得良好、優秀，B₁，B₂分別表示乙取得合格、良好，A表示在一輪競賽中，甲取得的成績優于乙取得的成績B表示在三輪競賽中至少有兩輪甲取得的成績優于乙取得的成績，C₁，C₂分別表示三輪中恰有兩輪，三輪甲取得的成績優于乙取得的成績．則
（Ⅰ）A=A₁•B₁+A₂•B₁+A₂•B₂，（2分）
P（A）=P（A₁•B₁+A₂•B₁+A₂•B₂）=P（A₁•B₁）+P（A₂•B₁）+P（A₂•B₂）=P（A₁）×P（B₁）+P（A₂）×P（B₁）+P（A₂）×P（B₂）=0.3×0.4+0.1×0.4+0.1×0.4=0.2．（6分）
（Ⅱ）B=C₁+C₂，（8分）P（C₁）=C₃²[P（A）]²[1-P（A）]=3×0.2²×（1-0.2）=0.096，
P（C₂）=[P（A）]³=0.2³=0.008，
P（B）=P（C₁+C₂）=P（C₁）+P（C₂）=0.096+0.008=0.104．（12分）
點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率公式的應用，解題的關鍵是要把題目中所求的事件分解為為已知基本事件來表示，然后結合相互獨立事件及互斥事件的概率公式進行求解