Question

【題目】已知函數，.

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具體見解析（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間即可。

（Ⅱ）由于時，，若要使得成立，只需時，成立，利用導數討論的最大值和的最小值，即可求出實數的取值范圍。

（Ⅰ）由題可得的定義域為，，

當時，，解得，或，，解得，

∴在，上是增函數，在上是減函數；

當時，，解得，或，，解得，

∴在，上是增函數，在上是減函數；

當時，恒成立，且只在時，∴在上是增函數.

（Ⅱ）時，，

若要使得成立，

只需時，成立，

由（Ⅰ）知當時，在上是增函數，，

當時，在上是減函數，在上是增函數，

，

當時，在上是減函數，，

，對稱軸，

當時，在上是增函數，，

，解得，∴，

當時，在上是增函數，在上是減函數，

，，

整理得，∵，∴只需，

令，，當時，，在上是增函數，又，∴時，，∴.

當時，在上是減函數，，

，解得，

綜上所述，或.