Question

如圖，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，過點C作⊙O的切線，交BD的延長線于點P，交AD的延長線于點E．
（1）求證：AB²=DE•BC；
（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切線PC的長．

Answer 1

分析：對于（1）求證：AB²=DE•BC，根據題目可以判斷出梯形為等腰梯形，故AB=CD，然后根據角的相等證△CDE相似于△BCD，根據相似的性質即可得到答案．
對于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切線PC的長．根據弦切公式可得PC²=PD•PB，然后根據相似三角形邊成比例的性質求出PD和PB代入即可求得答案．

解答：解：（1）∵AD∥BD
∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，
又PC與⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，
∴△CDE∽△BCD，∴

DC

BC

=

DE

DC

，
∴CD²=DE•BC，即AB²=DE•BC．
（2）由（1）知，DE=

AB2

BC

=

62

9

=4，
∵△PDE∽△PBC，
∴

PD

PB

=

DE

BC

=

4

9

．
又∵PB-PD=9，
∴PD=

36

5

，PB=

81

5

．
∴PC2=PD•PB=

36

5

×

81

5

=

542

52

．
∴PC=

54

5

．

點評：此題主要考查由相似三角形的性質解三角形的一系列問題，其中應用到弦切公式，題目屬于平面幾何的問題，涵蓋的知識點比較多，有一定的技巧性，屬于中檔題目．