Question

已知二次函數f（x）的二次項系數為負，對任意實數x都有f（2-x）=f（2+x），問當f（1-2x²）與f（1+2x-x²）滿足什么條件時才有-2＜x＜0？

Answer 1

【答案】分析：由二次函數f（x）對任意實數x都有f（2-x）=f（2+x）知其對稱軸，
結合它的二次項系數為負可得其單調性，所以只需探討1-2x²和1+2x-x²的大小關系，從而得到x的范圍．
解答：解：∵對任意實數x都有f（2-x）=f（2+x），
∴函數的對稱軸是直線x=2，
∵f（x）的二次項系數為負，
∴f（x）在（-∞，2]上單增，在（2，+∞）上單調．
又∵1-2x²≤1，1+2x-x²=-（x-1）²+2≤2．
∴需討論1-2x²與1+2x-x²的大小．
由1+2x-x²-（1-2x²）=x（x+2）知
當x（x+2）＜0，即-2＜x＜0時，1+2x-x²＜1-2x²．
故f（1+2x-x²）＜f（1-2x²）時，有-2＜x＜0．
點評：本題是個中檔題，主要考查二次函數的性質，以及比較大小和解不等式的方法．