Question

選修4-1：平面幾何
如圖AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F．
（I）求證：∠DEA=∠DFA；
（II）若∠EBA=30°，EF=，EA=2AC，求AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）連接AD，BC，證明A，D，E，F四點共圓，可得結論；
（Ⅱ）證明△EFA∽△BCA，可得，所以AF×AB=AC×AE，從而可求AF的長．
解答：（Ⅰ）證明：連接AD，BC．

因為AB是⊙O的直徑，所以∠ADB=∠ACB=∠EFA=90°，
故A，D，E，F四點共圓，
∴∠DEA=∠DFA；
（Ⅱ）解：在直角△EFA和直角△BCA中，∠EAF=∠CAB，
所以△EFA∽△BCA，所以
所以AF×AB=AC×AE
設AF=a，則AB=3-a，所以a（3-a）=，所以a²-2a+1=0，解得a=1
所以AF的長為1．
點評：本題考查四點共圓，考查三角形的相似，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．