Question

對于在區間A上有意義的兩個函數f（x）和g（x），如果對任意的x∈A，恒有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在A上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在A上是非接近的．
（1）證明：函數上是接近的；
（2）若函數上是接近的，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）證明：當
故f（x）與g（x）在[-1，1]上是接近的
（2）f（x）與g（x）在[a+2，a+3]上是接近的?對任意的x∈[a+2，a+3]，恒有
…①…②…③
由①②恒成立
③恒成立?-1≤log_n（x-a）（x-3a）≤1（x∈[a+2，a+3]）
由0＜a＜1知2a＜a+2，故函數?（x）=（x-a）（x-3a）
在[a+2，a+3]上遞增，因此有


綜上所述得a的取值范圍是．
分析：（1）欲證明證明：函數上是接近的；只須證明：當即可；
（2）由于f（x）與g（x）在[a+2，a+3]上是接近的?對任意的x∈[a+2，a+3]，恒有下面分別討論此三個不等式恒成立的條件即可得到a的取值范圍．
點評：本小題主要考查對數函數的性質和應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，解題時要注意函數恒成立的充要條件的合理運用．