Question

已知函數f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax，(a∈R)
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）當a＜0時，求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）求導數，確定函數的單調性，即可求得函數的極值；
（2）求導數，對a分類討論，利用導數的正負，可得f（x）的單調區間．

解答：解：（1）當a=0時，f(x)=2lnx+

1

x

f′(x)=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

(x＞0)…（2分）

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

…（4分）
∴當x=

1

2

時，f（x）極小值=f(

1

2

)=2-2ln2，無極大值…（5分）
（2）f′(x)=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

2a(x- 1 2 )(x+ 1 a )

x2

(x＞0)…（6分）
①當

1

2

=-

1

a

，即a=-2時，f'（x）≤0恒成立，∴f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）…（7分）
②當

a＜0 1 2 ＜- 1 a

，即-2＜a＜0時，f（x）的單調遞減區間為(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)，f（x）的單調遞增區間為(

1

2

，-

1

a

)…（9分）
③當

a＜0 1 2 ＞- 1 a

，即a＜-2時，f（x）的單調遞減區間為(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)，f（x）的單調遞增區間為(-

1

a

，

1

2

)…（11分）
綜上所述：當a＜-2時，f（x）的單調遞減區間為(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)，f（x）的單調遞增區間為(-

1

a

，

1

2

)；
當a=-2時，f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）；當-2＜a＜0時，f（x）的單調遞減區間為(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)，f（x）的單調遞增區間為(

1

2

，-

1

a

)…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．