Question

（2013•遼寧二模）已知函數f（x）=-2sinxcosx+2cos²x+1
（1）設方程f（x）-1=0在（0，π）內有兩個零點x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）若把函數y=f（x）的圖象向左移動m（m＞0）個單位，再向下平移2個單位，使所得函數的圖象關于y軸對稱，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）把給出的函數解析式降冪后化積，由f（x）-1=0求出在（0，π）內的兩個根，則x₁+x₂的值可求；
（2）利用函數圖象的平移變換得到平移后圖象所對應的函數解析式，由平移后的函數圖象關于y軸對稱，說明平移后的圖象對應的函數為偶函數，由此得到m的值，由m＞0求出m的最小值．

解答：解：（1）由題設f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=

2

cos(2x+

π

4

)+2．
∵f（x）-1=0，∴

2

cos(2x+

π

4

)+2=1，
∴cos(2x+

π

4

)=-

2

2

，
則2x+

π

4

=2kπ+

3

4

π或2x+

π

4

=2kπ+

5

4

π，k∈Z，
得x=kπ+

π

4

或x=kπ+

π

2

，k∈Z，
∵x∈（0，π），∴x1=

π

4

，x2=

π

2

，
∴x1+x2=

3

4

π；
（2）由函數y=f（x）的圖象向左移動m（m＞0）個單位，再向下平移2個單位，所得圖象對應的函數解析式為，
g（x）=

2

cos[2(x+m)+

π

4

]+2-2=

2

cos(2x+

π

4

+2m)．
要使y=g（x）的圖象關于y軸對稱，則函數g（x）為偶函數，
需使2m+

π

4

=kπ，k∈Z，
∴m=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z，
∵m＞0，
∴當k=1時，m取最小值為

3π

8

．

點評：本題考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數的平移原則為左加右減上加下減，是中檔題．