Question

已知f（x）是R上的可導函數．
（1）f（-x）在x=a處的導數值與f（x）在x=-a處的導數值有什么關系？
（2）若f（x）為偶函數，f′（x）的奇偶性如何？

Answer 1

分析：（1）用復合函數的求導法則求f（-x）的導數，再求在x=a處的導數值．
（2）函數在某點處導數的定義求f′（-x），由奇函數、偶函數定義得解．

解答：解：（1）∵f（-x）的導數為-f′（-x）
∴f（-x）在x=a處的導數值為-f′（-a）
又f（x）在x=-a處的導數值為f′（-a）
故f（-x）在x=a處的導數值與f（x）在x=-a處的導數值互為相反數．
（2）因為f（x）為偶函數，
所以f′（-x）=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=-

lim

-△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-f′（x）．
所以f′（x）為奇函數

點評：考查函數f（-x）在x=a處的導數值不是f′（-a），函數在某點處導數值的定義．