Question

（1）已知冪函數y=x^m-2（x∈N）的圖象與x，y軸都無交點，且關于y軸對稱，求函數解析式．
（2）已知函數y=．求函數的單調區間和奇偶性．

Answer 1

【答案】分析：（1）有冪函數的性質判斷出冪函數的指數小于或等于0；指數為偶數．列出不等式求出m；
（2）根據函數奇偶性的定義，求出f（-x）的表達式并判斷f（-x）與f（x）的關系，即可判斷f（x）的奇偶性；函數為復合函數，據符號函數的單調性同增異減，外函數是減函數，求出內函數的遞增區間為函數的遞減區間；內函數的遞減區間為函數的遞增區間．
解答：解：（1）∵冪函數y=x^m-2（m∈N）的圖象與x軸，y軸都無交點，
∴m-2≤0，解得m≤2，又m∈N
∴m=0或m=1或m=2，又關于y軸對稱，
∴m=0或m=2，
∴f（x）=x^-2或f（x）=x=1（x≠0）；
（2）由15-2x-x²≥0得函數的定義域為[-5，3]，函數的定義域關于原點不對稱，
∴函數既不是奇函數也不是偶函數．又對稱軸為x=1，
∴x∈[-5，1]時，t隨x的增大而增大；x∈（1，3）時，t隨x的增大而減小．
又∵函數y=在t∈[0，16]時，y隨t的增大而增大，
∴函數y=的單調增區間為[-5，1]，單調減區間為（1，3）．
點評：本題考查冪函數的性質與冪指數的取值范圍有關、考查二次函數的圖象和性質，熟練掌握函數圖象與性質的關系及判斷方法是解答本題的關鍵．