Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，是等邊三角形，，，分別是的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

連接，由已知得，，又是的中點，所以,計算可得,由，可得,可得平面;

（Ⅱ）取AB的中點O，連結OS，OD，可得OD∥BN, 由CD⊥OD，CD⊥SD，,可得,, OP⊥面SCD, 計算可得OP的值,由可得AB//面SCD, 可得直線所成角的正弦值.

解:（Ⅰ）連接，由已知得，，又是的中點，所以.

再由，所以，由，∴，，故.

（Ⅱ）取AB的中點O，連結OS，OD，由已知OD= OS= ，OD∥BN

根據（1）有CD⊥OD，CD⊥SD，

所以.又

作OP⊥SD，則OP⊥面SCD

△SOD中，OD=OS=，SD=3，

∵，∴AB//面SCD，

點A到平面SCD的距離等于點O到平面SCD的距離

設直線所成角為，

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