Question

△ABC的三邊長分別為3、4、5，P為平面ABC外一點，它到其三邊的距離都等于2，且P在平面ABC上的射影O位于△ABC的內部，則PO等于（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

Answer 1

分析：如圖所示，由P為平面ABC外一點，它到其三邊的距離都等于2，可得點P在平面ABC上的射影O是三角形ABC的內心，由△ABC的三邊長分別為3、4、5可求出直角△ABC的內切圓的半徑，進而可得到答案．

解答：解：如圖所示，PD、PE、PF分別表示點P到三條邊的距離，由題意可得PD=PE=PF=2，
在RT△POD，RT△POE，RT△POF中，PO公用，由勾股定理可得OD=OE=OF，
∴射影O應為△ABC的內心．
設OD=r，在Rt△ABC中，根據面積可得

1

2

×3×4=

1

2

r×(3+4+5)，解得r=1．
在RT△POD，PO=

PD2-OD2

=

22-12

=

3

．
故選D．

點評：本題考查了三棱錐的頂點滿足一定條件時在底面上的射影問題，充分利用線面垂直和勾股定理及三角形的面積公式是解決問題的關鍵．