Question

【題目】如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的大小；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

【解析】

證明平面，以 為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，（Ⅰ）為平面的一個法向量，證明平面，只需證明;（Ⅱ）求出平面的一個法向量、平面一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（Ⅲ）求出平面一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求直線與平面所成角的余弦值.

（Ⅰ）證明：四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，

，，

又平面平面，且平面平面，

平面．

以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系．根據題意,得以下點的坐標：

，，，，，

則，．

，，

為平面的一個法向量．

又．平面．

平面．

（Ⅱ）設平面的一個法向量為，

則，，

得

平面，平面一個法向量為，

設平面與平面所成銳二面角的大小為，

則

因此，平面與平面所成銳二面角的大小為．

（Ⅲ）根據（Ⅱ）知平面一個法向量為 得

，

設直線與平面所成角為，則

因此，直線與平面所成角的余弦值為．