Question

（本題滿分16分）已知函數，．

（1）當時，若上單調遞減，求a的取值范圍；

（2）求滿足下列條件的所有整數對：存在，使得的最大值， 的最小值；

（3）對滿足（2）中的條件的整數對，試構造一個定義在且 上的函數：使，且當時，．

 

Answer 1

【答案】

（1）a的取值范圍是

（2）滿足條件的整數對是

（3）

【解析】（1）當時，，………………………………………………1分

若，，則在上單調遞減，符合題意；………3分

若，要使在上單調遞減，

必須滿足 ……………………………………………………………………5分

∴．綜上所述，a的取值范圍是 …………………………………6分

（2）若，，則無最大值，………………………7分

故，∴為二次函數，

要使有最大值，必須滿足即且，…8分

此時，時，有最大值．………………………………………分

又取最小值時，，………………………………………………………分

依題意，有，則，…………分

∵且，∴，得，………………分

此時或．

∴滿足條件的整數對是．……………………………12分

（3）當整數對是時，

，是以2為周期的周期函數，………………………分

又當時，,構造如下：當，則，

，

故…