Question

如圖，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB為⊙O的直徑，PA=AB=2，，C是弧AB的中點．
（1）證明：BC⊥平面PAC；
（2）證明：CF⊥BP；
（3）求四棱錐C-AOFP的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由PA⊥平面ABC，得BC⊥PA，根據圓的性質得BC⊥AC，結合線面垂直的判定定理，得到BC⊥平面PAC．
（2）根據C是半圓弧AB的中點，證出等腰三角形△ABC中OC⊥AB，結合平面PAB⊥平面ABC，得到BP⊥OC．設BP的中點為E，連結AE，利用三角形中位線定理，可得OF∥AE，由等腰三角形“三線合一”證出AE⊥BP，從而得到BP⊥OF，由線面垂直判定定理得到BP⊥平面CFO，從而得到CF⊥BP．
（3）根據題意，CO是三棱錐C-BFO的高且CO=1，算出△BOF的面積再結合錐體體積公式，得到，同樣的方法算出三棱錐P-ABC的體積，從而得到四棱錐C-AOFP的體積．
解答：解：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA．（1分）
∵∠ACB是直徑所對的圓周角，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC．（2分）
又∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．（3分）
（2）∵PA⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴OC⊥PA．（4分）
∵C是半圓弧AB的中點，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
又∵O是AB的中點，∴OC⊥AB．（5分）
∵PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，
∴OC⊥平面PAB，
結合PB?平面PAB，可得BP⊥OC．（6分）
設BP的中點為E，連結AE，
則OF是△AEB的中位線，可得OF∥AE，
∵PA=AB，E為BP中點，∴AE⊥BP，可得BP⊥OF．（7分）
∵OC∩OF=O，OC、OF?平面CFO，∴BP⊥平面CFO．
又∵CF?平面CFO，∴CF⊥BP．（8分）
（3）由（2）知OC⊥平面PAB，
∴CO是三棱錐C-BFO的高，且CO=1．（9分）
又∵，
（10分）
∴（11分）
又∵三棱錐P-ABC的體積（12分）
∴四棱錐C-AOFP的體積（13分）
點評：本題給出底面為直角三角形且一條側棱過與底面垂直，求證線面垂直并求錐體的體積．著重考查了空間線面垂直的判定與性質、等腰三角形與圓的性質和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．