Question

【題目】設函數。

（1）若在區間上存在單調遞減區間，求的取值范圍；

（2）當時，在區間上的最大值為15，求在區間上的最小值。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）求出導函數，利用f（x）在區間上存在單調遞減區間，轉化為導函數在上存在函數值小于零的區間，列出不等式求解a的范圍即可．

（2）判斷導函數的開口方向，對稱軸，利用函數f（x）的上單調性，求出a，然后求解最小值．

解：（1）函數，a∈R．

可得．

由條件f（x）在區間上存在單調遞減區間，知導函數在上存在函數值小于零的區間，

只需 ，解得 ，

故a的取值范圍為．

（2）的圖象開口向上，且對稱軸x＝﹣1，

f′（0）＝a＜0，f′（3）＝9+6+a＝15+a＞0，

所以必存在一點x0∈（0，3），使得f′（x0）＝0，

此時函數f（x）在[0，x0]上單調遞減，

在[x0，3]單調遞增，又由于f（0）＝0，f（3）＝9+9+a＝18+3a＞0＝f（0）

所以f（3）＝18+3a＝15，即a＝﹣1，此時，

由 ，

所以函數 ．