Question

已知e是自然對數的底，若函數f（x）=|e^x-bx|有且只有一個零點，則實數b的取值范圍是________．

Answer 1

（-∞，0）∪{ e}
分析：f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個解，即方程e^x-bx=0有且只有一個解，因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=，分類討論可得當x∈（0，+∞）時，方程有且只有一解等價于b=e；當x∈（-∞，0）時，方程有且只有一解等價于b∈（-∞，0），從而可得b的取值范圍；
解答：f（x）=0同解于g（x）=0，因此，只需g（x）=0有且只有一個解，即方程e^x-bx=0有且只有一個解．
因為x=0不滿足方程，所以方程同解于b=．
令h（x）=，由h′（x）==0得x=1．
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，h（x）∈（e，+∞）；
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，h（x）∈（e，+∞）；
所以當x∈（0，+∞）時，方程b=有且只有一解等價于b=e．
當x∈（-∞，0）時，h（x）單調遞減，且h（x）∈（-∞，0），
從而方程b=有且只有一解等價于b∈（-∞，0）．
綜上所述，b的取值范圍為（-∞，0）∪{e}．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查導數的幾何意義，考查函數的極值，考查分類討論的數學思想，難度較大．