Question

（08年安慶市二模）（14分）若，分別為雙曲線的左右焦點，O為坐標原點，P在雙曲線的左支上，M在右準線上，且滿足，

（1）求此雙曲線的離心率；

（2）若此雙曲線過點，求該雙曲線的方程；

（3）設（2）中雙曲線的虛軸端點為、（在y軸正半軸上），是否存在經過點的直線l與雙曲線交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過點？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：（1）由知，四邊形PF₁OM為平行四邊形，又由知其為菱形，設半焦距為c，由

又舍去）…………………4分

（2）因為，所以c= 2a. 設雙曲線方程為，將點（2，）代入得，

即所求的雙曲線方程為 …………………………………………………8分

（3）依題意得B₁（0，3），B₂（0，-3），假設滿足條件的直線存在，顯然斜率存在，設方程為.因為雙曲線的漸近線為時,AB與雙曲線只有一個交點，

所以，因為

又因為以線段AB為直徑的圓過點B₁，所以

于是，所以.

故滿足條件的直線存在，其方程為…………………14分