Question

（08年安慶市二模） （14分）如圖，正三棱柱所有棱長都是2，D是棱AC的中點，E是棱CC₁的中點，AE交A₁D于點H。

（1）求證：AE⊥平面A₁BD；

（2）求二面角的大小（用反三角函數表示）；

（3）求點B₁到平面A₁BD的距離。

 

 

Answer 1

解析：（1）證明：如圖所示建立空間直角坐標系，

則A（1,0，0），C（-1,0，0），E（-1，-1,0），

，B（0,0，）

      

∵=0， 

          ∴     

即AE⊥A₁D，  AE⊥BD ，且A₁D與BD相交，

 ∴AE⊥面A₁BD                                             ………………5分

（2）設面DA₁B的法向量為

由  ∴取

設面AA₁B的法向量為  ， cos

由圖可知二面角D―BA₁―A為銳角，∴它的大小為arcos  …………………10分

（3），平面A₁BD的法向量取

則B₁到平面A₁BD的距離d=   ………………………14分