Question

已知命題p：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，命題q：函數(shù)f（x）=x²+2ax+2a的值域為[0，+∞），若命題“p或q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q成立的等價條件，利用“p或q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：當a=0時，方程等價為-2=0，不成立．
若a≠0，由a²x²+ax-2=0，得（ax+2）（ax-1）=0，即方程的根為x=-

2

a

或x=

1

a

．
∵方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解，
∴|-

2

a

|≤1或|

1

a

|≤1，解得|a|≥2或|a|≥1，
即|a|≥1，解得a≥1或a≤-1，
即p：a≥1或a≤-1．
若函數(shù)f（x）=x²+2ax+2a的值域為[0，+∞），則判別式△=（2a）²-8a=0，
解得a=0或a=2，即q：a=0或a=2，
∴p或q為：a≥1或a≤-1或a=0，
∵“p或q”為假命題時，
∴-1＜a＜1且a≠0，即a∈（-1，0）∪（0，1）．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用條件先求出p，q成立的等價條件是解決此類問題的關鍵．