Question

設S_n是等比數列{a_n}的前n項和，且S3=

7

4

，S6=

63

4

．
（1）求{a_n}的通項公式a_n；
（2）設b_n=log₂a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）設{a_n}的首項為a₁，公比為q，分q=1與q≠1討論，列方程組計算即可求得q，從而可求{a_n}的通項公式a_n；
（2）由a_n=2^n-3，b_n=log₂a_n，可求得b_n=n-3，從而可求得b₁，利用等差數列的前n項和公式即可求得T_n．

解答：解：（1）設{a_n}的首項為a₁，公比為q
當q=1時，S₃=3a₁，S₆=6a₁，則S₆=2S₃，不合題意； …（2分）
當q≠1時，

a1(1-q3) 1-q = 7 4 a1(1-q6) 1-q = 63 4

，兩式相除得1+q³=9，
∴q=2，
∴a1=

1

4

…（6分）
∴a_n=a₁q^n-1=

1

4

×2^n-1=2^n-3…（8分）
（2）b_n=log₂a_n=log₂2^n-3=n-3，…11分
∴b₁=-2，
∴T_n=

n(b1+bn)

2

=

n(-2+n-3)

2

=

n(n-5)

2

…14分

點評：本題考查數列的求和，突出考查等比數列與等差數列的通項公式及求和公式，屬于中檔題．