Question

過拋物線x²=4y上不同兩點A、B分別作拋物線的切線相交于點P（x，y），．
（Ⅰ）求y；
（Ⅱ）求證：直線AB恒過定點；
（Ⅲ）設（Ⅱ）中直線AB恒過定點為F，若恒成立，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）設A（x₁，），由此推導出直線PA的方程是：y=．同理，直線PB的方程是：y=．由此能求出y．
（Ⅱ）設直線AB為y=kx+1，聯立，得x²-4kx-4b=0，由此能夠證明直線AB恒過定點．
（Ⅲ）由（+2，能推導出存在λ=1，使得=0．
法二：（Ⅰ）設PA的直線方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0），由，得到直線PA的方程是：y=kx-k²．同理可得直線PB的方程是：y=-．由此能求y．
（Ⅱ）設A（x₁，），由x²=4y，得：y′=，故k_PA=，由=0，知x₁x₂=-4．設直線AB為y=kx+1，聯立，得x²-4kx-4b=0，由此能夠證明直線AB恒過定點．
（Ⅲ）由A（2k，k²），B（-，），知-1），，-2），由此能推導出存在λ=1使得=0．
解答：解法（一）：（Ⅰ）設A（x₁，），
由x²=4y，得：y′=，∴k_PA=∵=0，
∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．（2分）
直線PA的方程是：y-）即y=①
同理，直線PB的方程是：y=②，（4分）
由①②得：
∴y=-1（x∈R）．（6分）
（Ⅱ）設直線AB為y=kx+1，
聯立，得x²-4kx-4b=0，
∴x₁x₂=-4b=-4，
∴b=1，
∴直線AB為：y=kx+1，
∴直線AB恒過定點（0，1）．（10）
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）得：-1），-1），P（，-1）=-4，
（+2，
所以=0
故存在λ=1使得=0．（14分）
解法（二）：（Ⅰ）∵直線PA、PB與拋物線相切，且=0，
∴直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且PA⊥PB，
設PA的直線方程是y=kx+m（k，m∈R，k≠0）
由得：x²-4kx-4m=0．（2分）
∴△=16k²+16m=0即m=-k²
即直線PA的方程是：y=kx-k²
同理可得直線PB的方程是：y=-，（4分）
由得：，
故y=-1（x∈R）．（6分）
（Ⅱ）設A（x₁，），
由x²=4y，得：y′=，∴k_PA=，∵=0，
∴PA⊥PB，∴x₁x₂=-4．
設直線AB為y=kx+1，
聯立，得x²-4kx-4b=0，
∴x₁x₂=-4b=-4，
∴b=1，
∴直線AB為：y=kx+1，
∴直線AB恒過定點（0，1）．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）得：A（2k，k²），B（-，），
∴-1），，-2））．
故存在λ=1使得=0．（14分）
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．