Question

在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面內一點，且AP=2，則

PB

•

PC

的最大值為

10+2

37

．

Answer 1

分析：以A為原點，以AB所在的直線為y軸，以過點A且與AB垂直的直線為x軸建立直角坐標系，求出B，A，C，設P（x，y）然后表示

PB

，

PC

，代入

PB

•

PC

之后結合圓的性質可求

解答：解：以A為原點，以AB所在的直線為y軸，以過點A且與AB垂直的直線為x軸建立直角坐標系
則由題意可得B（0，3），A（0，0），C（2

3

，2），設P（x，y）
∴

PB

=（-x，3-y），

PC

=（2

3

-x，2-y）
∴

PB

•

PC

=-2

3

x+x2+6-5y+y2
=(x-

3

)2+(y-

5

2

)2-

13

4

而(x-

3

)2+(y-

5

2

)2表示動點P到定點M（

3

，

5

2

）的距離的平方
根據圓的性質可知，M到圓心A的距離的最大值MA=

3+ 25 4

=

37 4

PM=MA+2=

37 4

+2
∴(x-

3

)2+(y-

5

2

)2-

13

4

最大值

37

4

+4+4

37 4

-

13

4

=10+2

37

∴

PB

•

PC

的最大值10+2

37

故答案為：10+2

37

點評：本題主要考查了向量的數量積的 坐標表示的應用，圓的性質的應用，點的距離公式的應用，屬于中檔試題