Question

一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側棱上．已知正三棱柱的底面邊長為2，求該三角形的斜邊長．

Answer 1

分析：如圖，設DF長為x，則DE=EF=

2

2

x，作DG⊥BB₁，HG⊥CC₁，EI⊥CC₁，從而用x表示出EG，FI，，FH，從而將問題轉化到Rt△DHF中，有DF²=DH²+FH²求解．

解答：解：如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為正三角形，邊長為2，△DEF為等腰直角三角形，DF為斜邊，設DF長為x，則DE=EF=

2

2

x，作DG⊥BB₁，HG⊥CC₁，EI⊥CC₁，
則EG=

DE2-DG2

=

x2 2 -4

，FI=

EF2-EI2

=

x2 2 -4

，FH=FI+HI=FI+EG=2

x2 2 -4

，在Rt△DHF中，DF²=DH²+FH²，即x²=4+（2

x2 2 -4

）²，解得x=2

3

．
即該三角形的斜邊長為2

3

．

點評：本題主要考查棱柱的結構特征，主要涉及了正棱柱，一是底面是正多邊形，二是側棱與底面垂直，還考查了轉化思想，屬中檔題．