Question

如圖,已知拋物線C₁:y=x²,與圓C₂:x²+(y+1)²=1,過y軸上一點A(0,a)(a＞0)作圓C₂的切線AD,切點為D(x₀,y₀).

(1)證明(a+1)(y₀+1)=1;

(2)若切線AD交拋物線C₁于點E,且E為AD的中點,求點A縱坐標a.

Answer 1

(1)證明:因為AD是圓C₂:x²+(y+1)²=1的切線,

所以AD⊥C₂D.

于是有×=-1,

即x₀²+y₀²+y₀-ay₀-a=0.① 

又因為x₀²+(y₀+1)²=1,② 

由②-①得y₀+ay₀+a+1=1,即(a+1)(y₀+1)=1,結論成立.

(2)解:因為E為AD的中點,其坐標為(,),

所以=()²,即2y₀+2a=x₀².

又因為D(x₀,y₀)在圓上,所以2y₀+2a=1-(y₀+1)²,即y₀²+4y₀+2a=0,

將a=-1代入整理,得y₀(y₀²+5y₀+2)=0,y₀≠-1.

得y₀=0(因為切線為x軸,顯然不符合題意,舍去),

或y₀=或y₀=＜-2(不滿足圓的條件,舍去),

所以y₀=.

再由a=-1==.