Question

（14分）如圖，已知拋物線C₁： y=x², 與圓C₂： x²+(y+1)²="1," 過y軸上一點(diǎn)A（0, a）（a>0）作圓C₂的切線AD，切點(diǎn)為D（x₀, y₀）.

（1）證明：(a+1)(y₀+1)=1

（2）若切線AD交拋物線C₁于E，且E為AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)A縱坐標(biāo)a.

 

Answer 1

【答案】

（1）過D（x₀, y₀）的切線方程x₀x+(y₀+1)(y+1)=1  (*)

由（*）過點(diǎn)A（0, a）， 將點(diǎn)A坐標(biāo)代入（*）得(y₀+1)(a+1)=1（2）

【解析】

試題分析：（1）過D（x₀, y₀）的切線方程x₀x+(y₀+1)(y+1)=1  (*)

由（*）過點(diǎn)A（0, a）， 將點(diǎn)A坐標(biāo)代入（*）得(y₀+1)(a+1)="1," 即證

（2）由于D（x₀, y₀）,A(0， a) ∴AD的中點(diǎn)E（）點(diǎn)E在拋物線y=x²上

∴ 

聯(lián)立消去x₀, y₀得2a³+a²－2a=0   即a(2a²+a－2)=0(a>0)

解得：a=

考點(diǎn)：直線與圓相切，直線與拋物線相交的位置關(guān)系

點(diǎn)評：第一問還可先由A,D兩點(diǎn)寫出直線方程，然后利用圓心到直線距離等于圓的半徑列關(guān)系式整理化簡