Question

【題目】某化工廠生產某種產品，當年產量在150噸至250噸時，每年的生產成本y萬元與年產量x噸之間的關系可可近似地表示為y= ﹣30x+4000．
（1）若每年的生產總成本不超過2000萬元，求年產量x的取值范圍；
（2）求年產量為多少噸時，每噸的平均成本最低，并求每噸的最低成本．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 ﹣30x+4000≤2000，解得100≤x≤200，

∵當年產量在150噸至250噸時，每年的生產成本y萬元與年產量x噸之間的關系

可近似地表示為y= ﹣30x+4000，

∴150≤x≤200，

故每年的生產總成本不超過2000萬元，年產量x的取值范圍為[150，200]

（2）解：依題意，每噸平均成本為 （萬元），

則 = + ﹣30≥2 ﹣30=10

當且僅當x=200時取等號，又150＜200＜250，

所以年產量為200噸時，每噸平均成本最低，每噸的最低成本10萬元．

【解析】（1）根據題意使得成本不超過2000萬元，列出不等式，求解不等式得到年產量x的范圍，（2）表示出每噸平均成本為,利用均值不等式得到x的取值，故每噸最低成本為10萬元.