Question

已知實數a，b，c∈[0，1]，則a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）的最大值為（　　）

• A．

  3

  4

• B．1
• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：構造成一次函數f（a）=a（1-b）+b（1-c）+c（1-a），后計算端點f（0）和f（1），計算f（0）與f（1）即可知，所有的端點值均不大于1．從而得出a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）的最大值．

解答：解：用構造函數法，
選取a為變量，令 f（a）=a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）是關于a的一次函數，
令a=1，得f（1）=1-b+b-bc=1-bc≤1；
令a=0 得f（0）=b-bc+c=b+c-bc-1+1=-（1-b）（1-c）+1≤1
由于一次函數最大值在端點0或1處取得，而f（0），f（1）均≤1，
所以 在[0，1]上，f（a）≤1，即a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）≤1．
則a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）的最大值為1．取得最大值的條件是a，b，c中一個為0，一個為1，
另一個可以取[0，1]內的任意一個數．
故選B．

點評：本題主要考查了函數的性質，考查了不等式的性質與應用，解答的關鍵是構造一次函數f（a）=a（1-b）+b（1-c）+c（1-a），利用一次函數的性質解決最值問題，屬于中檔題．