平面與平面垂直的性質定理可簡言：面面垂直，則線面垂直．兩平面垂直會有許多性質，選取這條性質作為性質定理有什么意義？這條定理都有什么應用？
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我們已經會判斷兩個平面互相垂直，除定義外，還可用“一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面垂直”來判定兩個平面垂直．兩個相交平面相聯系的最重要的紐帶莫過于它們之間的交線了，所以兩垂直平面的性質問題的關鍵就在于交線及與交線垂直的直線上． 性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直． 不難證明這個定理的逆命題，即如果一個平面內垂直于交線的任意一條直線與另一個平面垂直，則這兩個平面垂直．也就是說平面與平面垂直的性質定理是兩個相垂直的平面區別于其他兩個相交平面的特有的性質． |
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這個定理為證明線面垂直提供了思路：只要有兩個平面垂直，那么向交線作垂線便得線面垂直，進一步便有線與線的垂直．平面與平面垂直的判定與性質相互結合，為證明線線垂直、線面垂直提供了更多的技巧． |
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省高三下學期模擬預測理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
在四棱錐
中，
平面
，底面為矩形，
.
（Ⅰ）當
時，求證：
；
（Ⅱ）若
邊上有且只有一個點
，使得
，求此時二面角
的余弦值.
【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質定理得到。當a=1時，底面ABCD為正方形，
又因為
,
………………2分
又
，得證。
第二問，建立空間直角坐標系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》
要使
，只要
所以
，即
………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得
由此知道a=2, 設平面POQ的法向量為
,所以
平面PAD的法向量
則
的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
解：(Ⅰ)當時，底面ABCD為正方形，
又因為,又
………………3分
(Ⅱ) 因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標系，如圖所示，
則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
設BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要
所以，即………6分
由此可知時，存在點Q使得
當且僅當m=a-m，即m=a/2時，BC邊上有且只有一個點Q，使得由此知道a=2,
設平面POQ的法向量為
,所以 平面PAD的法向量
則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值為
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科目：高中數學 來源：2013屆浙江省高二下學期期中理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖，邊長為2的正方形ABCD，E是BC的中點，沿AE，DE將
折起，使得B與C重合于O．
（Ⅰ）設Q為AE的中點，證明：QD
AO；
（Ⅱ）求二面角O—AE—D的余弦值．
【解析】第一問中，利用線線垂直，得到線面垂直，然后利用性質定理得到線線垂直。取AO中點M，連接MQ，DM，由題意可得：AO
EO, DOEO，
AO=DO=2．AODM
因為Q為AE的中點，所以MQ//E0,MQAO
AO平面DMQ,AODQ
第二問中，作MNAE,垂足為N，連接DN
因為AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM
，因為AODM ，DM平面AOE
因為MNAE，DNAE, 
DNM就是所求的DM=
，MN=
,DN=
,COSDNM=
（1）取AO中點M，連接MQ，DM，由題意可得：AOEO, DOEO，
AO=DO=2．AODM
因為Q為AE的中點，所以MQ//E0,MQAO
AO平面DMQ,AODQ
（2）作MNAE,垂足為N，連接DN
因為AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM
，因為AODM ，DM平面AOE
因為MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=
二面角O-AE-D的平面角的余弦值為
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