Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在處取得極值，求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數的單調性；

（3）設，若對恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，在上單調遞增，當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，當時，在上單調遞減，上單調遞增；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先求，得即為切線斜率，利用點斜式求解；（2）求出的導數，通過討論的范圍，確實導函數的符號, 從而求出函數的單調區間；（3）問題轉化為對恒成立, 令,通過討論函數的單調性得到其最小值, 解關于的不等式即可求出的范圍.

試題解析：（1）由，，得或（舍去）

經檢驗，當時，函數在處取得極值.

時，，

則，

所以所求的切線方式為，整理得.

（2）定義域為

，

令，得或

∵，則，且

①當時，，，此時在上單調遞增；

②當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；

③當時，在上單調遞減，上單調遞增.

（3）由題意，，

即，即對任意恒成立，

令，則，

令，得，即在上單調遞減，上單調遞增，

當時取得最小值

∴，解得

又∵，所以的取值范圍為.