Question

已知函數f（x）=2sin（ωx-

π

6

）sin（ωx+

π

3

）（ω＞0）的最小正周期為π
（1）若x∈[

π

8

，

5π

12

]，求函數f（x）的最小值；
（2）在△ABC中，若A＜B，且f（A）=f（B）=

1

2

，求

BC

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）根據（ωx-

π

6

）+（ωx-

π

6

）=

π

2

，把sin（ωx+

π

3

）利用誘導公式變形后，根據二倍角的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由函數的最小正周期，根據周期公式求出ω，從而確定出f（x）的解析式，由x的范圍，求出這個角的范圍，根據正弦函數的單調性即可表示出f（x）的最小值，利用兩角差的正弦函數公式及特殊角的三角形函數值即可求出；
（2）根據f（A）=f（B）=

1

2

，分別將A和B代入f（x）的解析式，根據A小于B及特殊角的三角函數值即可求出A和B的度數，利用三角形的內角和定理求出C的度數，根據正弦定理得到所求式子等于sinA與sinC之比，利用特殊角的三角函數值即可求出之比，即為所求式子的值．

解答：解：（1）f（x）=2sin（ωx-

π

6

）sin（ωx+

π

3

）=2sin（ωx-

π

6

）sin[（ωx-

π

6

）+

π

2

]
=2sin（ωx-

π

6

）cos（ωx-

π

6

）=sin（2ωx-

π

3

），
∵T=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

3

），
∵x∈[

π

8

，

5π

12

]，∴2x-

π

3

∈[-

π

12

，

π

2

]，
根據正弦函數在此區間單調遞增，
得到：f（x）_min=sin（-

π

12

）=sin（

π

4

-

π

3

）
=sin

π

4

cos

π

3

-cos

π

4

sin

π

3

=

2

2

×

1

2

-

2

2

×

3

2

=

2 - 6

4

；
（2）由f（A）=f（B）=

1

2

得：sin（2A-

π

3

）=sin（2B-

π

3

）=

1

2

，
∵A＜B，∴A=

π

4

，B=

7π

12

，則C=

π

6

，
∴

BC

AB

=

sinA

sinC

=

sin π 4

sin π 6

=

2

．

點評：此題考查了三角函數的恒等變換，正弦定理，以及正弦函數的單調性．由誘導公式將f（x）的解析式變形，根據周期公式確定出ω，進而確定出（x）的解析式是本題的突破點，同時要求學生掌握正弦函數的單調性，兩角和與差的正弦函數公式，牢記特殊角的三角函數值．