Question

如圖，倒置的頂角為60°的圓錐形容器，有一個實心鐵球浸沒于容器的水中，水面恰好與球相切，若取出這個鐵球，測得容器的水面深度為

3

15

cm，則這個鐵球的表面積為

4π

cm²．

Answer 1

分析：根據取出這個鐵球后水的深度以及圓錐形容器的軸截面為等邊三角形得到水的體積，設出球的半徑表示出球的體積，則根據放球后總體積V′=V_球+V_水，得到關于鐵球R的方程，解出即可．

解答：解：∵取出這個鐵球后水的深度h=

3	15

cm，
則此時液面圓半徑r=

3

3

3	15

cm，
∴V_水=

1

3

πr2h=

5

3

πcm³
∵設鐵球的半徑為R，
則取出這個鐵球前，水的深度H=3R
此時液面圓半徑r′=

3

R
則V=

1

3

πr′2H=3πR³=V_球+V_水
即V_水=

5

3

πR3
解得R=1cm
鐵球的表面積S=4πR²=4πcm²
故答案為：4π

點評：本題考查的知識點是圓錐及球的體積，其中放球后總體積V′=V_球+V_水，是解答的關鍵．